[고찰] BA 모델 고찰

 바라바시 알베르트의 선호적 연결에 의한 성장 모델은 척도 없는 네트워크를 생성한다. 실제 데이터에서 발견되는 척도 없는 네트워크의 생성 원인을 설명해 줄 수 있는 모델이다.

 2017/10/22 - [연구/리뷰] - [논문소개] Barabasi-Albert model (바라바시 알베르트 모델)

저번에는 기본적인 부분을 살펴봤는데 이번에는 의미를 조금 더 생각해 보았다.

 BA 모델은 성장한다. 그런데 골고루 성장한다. 골고루 성장한다는 것의 의미는 공평하게 성장한다는 뜻은 아니다. 주변에 많은 노드들을 지닌 노드는 새로운 노드가 유입될 확률이 높기 때문이다. 하지만, 골고루 성장한다고 표현한 이유는 노드가 지니는 엣지의 수 k와 그러한 노드들이 존재하는 빈도 P(k)가 거듭 제곱의 분포를 유지하기 때문이다.

 k_i 개의 엣지를 지닌 노드 i에 새로운 노드가 추가될 확률은 다음과 같이 표시할 수 있다. (위의 이전 글 참조) 

 여기서 재미있는 점은 t가 무한대가 될 때 노드 i에 새로운 노드가 추가될 확률이 0으로 수렴하는 것이다. 즉 어떤 노드도 절대적인 노드가 될 수 없고, 이는 분포가 무너지지 않는 이유를 설명한다.

 

 BA모델을 그림을 통해 설명해보자면 다음과 같다. 이용한 그래프는 바라바시가 BA모델을 알기 쉽게 설명한 그래프이다. 노드가 지닌 링크(엣지)의 수와 그러한 노드의 개수는 거듭제곱 분포로 나타난다. 링크의 수가 많은 노드는 그 수는 적지만, 아주 많은 링크를 지니고 있다. 반대로 링크의 수가 적은 노드는 그 수가 엄청나게 많다. 

 BA모델은 신규노드의 유입을 통해 성장하는데, 이 신규 노드들은 분포의 좌측에 유입되며 분포의 좌측을 끌어올리게 된다. 그리고 이 때 신규노드들이 링크를 만들었던 기존 노드들은 링크의 수(k)가 증가하게 되며 분포를 우측으로 끌어당기게 된다. 그리고 위에서 수식으로 살펴 보았듯이 어떤 한 노드가 Network의 성장 시스템을 지배할 확률은 0이므로, 분포는 고르게 오른쪽 위로 당겨지게 된다. 이를 log-log스케일로 보면 직선의 분포가 나타나며, 네트워크는 이 직선을 유지한 채 오른쪽 위로 당겨 올려지는 느낌으로 성장한다.

이 그림을 통해 생각해보면 기본적으로 더 많은 링크를 지닌 노드에게 선호성을 지닌 네트워크에서는 분포가 오른쪽 위로 당겨지는 것을 알 수 있다.