[개념] Topology(위상수학)는 언제 사용하는가

 토폴로지니 호몰로지니 하면서 도넛이 커피잔과 같고, 프레즐과 다르다.. 이런 말을 인터넷에서 듣고 나서 이건 뭐하는 학문이길래 도넛이 커피잔과 같다고 하는지.. 그래서 어쩌라고... 싶었다.

 그러다가 유튜브에서 어려운 개념들을 시각화하여 설명해주기로 유명한 3Blue1Brown 채널에서 topology관련 영상을 봤는데 충격적이었다.

 위상수학은 아리송한 문제들의 정의역과 치역을 기하학적 모양으로 나타내고, 이 모양이 서로 Mapping되는 과정에서 "해"의 존재 유무를 알 수 있는 정말 굉장한 학문이었던 것이다.

 3Blue1Brown 채널에서는 실제로 토폴로지의 형태를 이용해서 간단히 풀 수 있는 두가지 예를 제시하고 있다. 다음은 3Blue1Brown 채널에서 설명하는 두가지 예시 영상이다.

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첫번째 질문. 닫힌 곡선에 직사각형을 이루는 네 점이 존재하는가?

 무슨 질문이 이래? 하지만 어떻게 증명해야할 지 막막하다. 이걸 토폴로지를 이용해서 풀 수 있다. 정의역(곡선 위의 점)을 뫼비우스의 형태로 변형 시키고, 치역 공간을 연속하는 면으로 나타낸 후, 정의역 공간을 치역 공간에 mapping 시킬 때 뫼비우스 띠가 풀리면서 같은 치역 공간을 가르키는 정의역이 적어도 한개 이상 존재한다는 것을 증명한다.

 

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 두번째 질문. 일직선의 목걸이에 n개의 종류의 보석들이 무작위적으로 달려있을 때, 두 사람이 공평하게 나눠갖기 위해 목걸이를 잘라야 하는 최소 횟수는?

 이 문제 또한 n번 잘라 나뉜 목걸이를 n+1차원 공간으로 mapping한 후에, 각각의 보석을 나누는 공간을 n차원으로 mapping하여 최소 한 짝 이상의 n+1차원의 두 점이 n차원의 한점에서 만난다는 것으로 증명한다.

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 정말 참신하고 직관적으로 답을 생각해볼 수 있는 방법이다. "커피잔과 도넛이 같다"라는 식의 애매한 소개로 인해 느끼고 있던 거부감이 조금은 사라진 것 같다.