[Physics] 프랙탈 차원

공간을 설명하기 위한 방법으로 차원이라는 개념이 있다. 가장 대표적인 차원의 개념으로는 공간을 구성하고 있는 독립적인 '축'의 개수를 세는 방법이 있다. 점(0), 선(1), 면(2), 입체(3)의 차원을 설명하는 방법이 바로 그러하다.

우리가 살아가는 공간의 특징은 주로 3차원으로 설명된다. 어떤 방향을 정하든 그와 독립적인 방향들이 존재하며, 그 중 하나를 골라 두 가지 방향을 정하고 나서도 또 하나의 독립적인 방향이 존재한다는 의미이다. 이렇게 정한 3가지 방향에서 이루어지는 힘의 교환, 그로 인한 속도와 가속도의 변화는 완전히 독립적이다. 이러한 독립성은 우리가 사는 공간에서 물체의 운동을 기술할 수 있는 토대가 된다. 그것이 '역학'이라고 불리는 학문의 정체다.

1, 2, 3 처럼 정수가 아닌 차원, 예를 들면 1.3차원과 같은 정의도 존재한다. 프랙탈(fractal) 차원이라고 불리우는 이러한 차원의 정의는 기존 1, 2, 3차원의 정의를 포함한다. 프랙탈 차원에서는 척도(scale) 불변성으로 차원을 정의한다.
쉽게 표현해보자면, 관측 범위를 달리해도 '형태'를 유지한다면 차원이라는 이름을 붙여주는 것이다. 1차원인 선형 공간은 가까이서 보아도 멀리서 보아도 선의 형태를 유지하고, 2차원 평면은 좁게 보아도 넓게 보아도 면의 형태를 유지한다. 이렇게 축적을 달리해도 형태를 유지하는 것을 '자기 유사성'이라고 부르는데, 이런 자기 유사성을 보이는 형태는 점, 선, 면 말고도 수없이 존재한다. 그리고 그런 기하학적 형태를 '프랙탈'이라고 부른다.

 

프랙탈(영어: fractal) 또는 프랙털은 일부 작은 조각이 전체와 비슷한 기하학적 형태를 말한다. 이런 특징을 자기 유사성이라고 하며, 다시 말해 자기 유사성을 갖는 기하학적 구조를 프랙탈 구조라고 한다. 브누아 망델브로가 처음으로 쓴 단어로, 어원은 조각났다는 뜻의 라틴어 형용사 ‘fractus’이다. 프랙탈 구조는 자연물에서 뿐만 아니라 수학적 분석, 생태학적 계산, 위상 공간에 나타나는 운동모형 등 곳곳에서도 발견되어 자연이 가지는 기본적인 구조이다. 불규칙하며 혼란스러워 보이는 현상을 배후에서 지배하는 규칙도 찾아낼 수 있다. 복잡성의 과학은 이제까지의 과학이 이해하지 못했던 불규칙적인 자연의 복잡성을 연구하여 그 안의 숨은 질서를 찾아내는 학문으로, 복잡성의 과학을 대표하는 혼돈 이론에도 프랙탈로 표현될 수 있는 질서가 나타난다. - Wikipedia

 

2차원 평면에 펼쳐진 프랙탈 차원을 생각했을 때, 1에 가까운 차원은 덜 조밀하여 선에 가깝고, 2에 가까운 차원은 더 조밀하여 면에 가까운 모습을 띈다. 그리고, 계속해서 2에 가까워지면 프랙탈은 점점 평면을 더 조밀하게 채우다가 결국에는 꽉 채우며 2차원과 같아진다.

이렇게 척도 불변성으로 차원의 정의를 내릴 수 있는 이유는 무엇일까. 그 이유는 척도불변성, 즉 자기유사성이 지니는 보편성에 있다. 척도를 달리 했을 때 다른 형태를 지닌다면, 이는 척도에 따라 변하는 형태를 기술하기 위해 새로운 '정보'가 필요하다는 것을 의미한다. 이러한 정보는 특정 척도에서 특히 '밀'하게 나타나기도 하는데, 이는 공간(space)가 아닌 객체(object)로 보는 것이 더 합리적이다. 
차원은 척도를 다르게 보아도 보편성이 유지되는 형태에 주어진다. 이런 기하적인 형태 속에서는 객체의 척도와 관계 없이 보편적인 운동 또는 상호작용의 기술이 가능해진다. 차원은 그런 보편적 인과성이 작동하는 기하적인 공간의 형태를 의미한다.