[공학] 칼만필터

칼만필터를 간략히 정리해본다.

　칼만필터에는 분산(행렬일 경우 공분산) 개념이 사용되어, 어떻게 증명되었는지 알 수 없게 만드는데,

사실 분산은 해석용이고, 증명은 실제 계를 거쳐 나오는 실측값을 관찰한 관측치와 모델로 부터 추정되는 추정치의　최소자승법의 해석학적 해를 구하는 데서 나온다고 알아두는 것이 편하다.

　

최소자승법의 해석학적 해는 오차의 제곱의 편미분값이 0임을 이용하는 것인데, 이 때 분산의 개념이 등장하게 되는 것이다. 최소자승법의 해로부터 구한 관측치와 추정치를 보정하는 게인은 시스템에 에러와 관측 에러의 비율로 나타나게 되는데, 시스템 에러(분산)가 클 때(시스템노이즈분산이 클 때)는 관측치의 값을 더 이용하고, 시스템 에러(분산)가 작을 때(시스템노이즈분산이 작을 때)는 추정치의 값을 더 이용하도록 조정된다.

그리고 시스템 에러는 이전차 보정게인 값이 계의 모델을 거쳤을 때 나오는 값으로 추정되며, 추정된 시스템 에러는 보정게인을 갱신하고, 갱신된 보정게인으로부터 다음차 시스템 에러를 갱신한다. 시스템 에러는 보정게인이 작았을 때, 이전차 에러와 같도록, 보정게인이 커지면, 이전 에러보다 작아지도록 갱신되며, 이를 통해, 시스템 에러를 줄여나가는 것이 가능하다.

http://www.swarthmore.edu/NatSci/echeeve1/Ref/Kalman/ScalarKalman.html

 이를 설명해주는 아주 상세한 설명이 있다.

기존에 읽어본 설명중 최고로 자세히 설명이 된 설명인 것 같다.

추가) 

 옵저버와 최소자승법을 이용한 해석이 아닌, 정규분포의 선형변환과 정규분포간의 곱으로 설명하는 방식이 있다.

주어진 노이즈들이 정규분포일 때, 선형 시스템에서는 정규분포의 선형 변환이 일어난다. 그리고, 관측과 예측 모델에서 주어진 각각의 센서, 시스템의 노이즈들은 같은 공간상에서 서로 곱해짐을 통해, 그 분산이 감소한다.(정규분포 끼리의 곱은 더 날카로운 정규분포)

 이를 통해, 시스템 노이즈를 줄여나가서, 안정된 시스템 분산(주어진 노이즈보다 더 적은 노이즈 분산)을 지닌 추측이 가능해 지는 것이다. 

 수식적 이해는 상기의 페이지를 추천하자면, 개념적으로 명확하게 이해하기에는 이쪽이 더 이해가 빠를 것 같다.

http://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/