[통계역학] 해석역학

 통계역학 캠퍼스 제미 라는 책을 사서 박사1년 친구와 함께 공부를 시작했다. 통계역학은 미시적 작용이 거시적으로 어떻게 나타나는지를 설명해주는 학문이다. 

 이 책의 프롤로그에서는 본격적으로 통계역학을 설명하기 전에, 통계역학을 이해하기 위해 사전적으로 알아야 할 기초지식에 관해 소개하고 있다. 어디까지나 소개이기 때문에 그 레벨은 깊지 않다.

 먼저 소개 하는 부분이 바로 오늘 글의 제목인 해석역학이다.

 해석역학은 기존의 뉴턴역학을 다른 방식으로 해석함에서 시작한다. 뉴턴역학은 힘과 가속도, 가속도와 속도, 속도와 위치의 관계를 설명한다. 그래서 가장 익숙하고, 직관적으로 이해하기가 쉽다.

 하지만, 조금 복잡한 시스템 속에서는 수많은 힘과 작용점에 의해 발생하는 복잡한 관계가 생기게 되는데, 이를 뉴턴방정식으로 해석하기에는 벅차다. 이에 등장한 것이 해석역학이다.

라그랑주 운동방정식

 먼저 라그랑주 운동방정식을 살펴보자. 라그랑주 방정식은 Cost 함수가 있다. 어떤 일을 하는데 소요되는 특정 Cost를 L로 두고, 시작점부터 끝까지 L을 적분하였을 때, 이 값이 최소가 되는 조건을 구한다. 이러한 방법은 Cost를 최소로 하는 해밀턴의 원리, 최소작용의 원리에 해당된다. 이를 통해 오일러-라그랑주 방정식이 구해지게 된다.

 그리고 오일러-라그랑주 방정식의 Cost 함수 L을 다음과 같이 설정하였을 때, 뉴턴 운동방정식이 도출된다. 

 

 L = T(운동에너지) - U(포텐셜에너지)

 뉴턴 운동방정식은 운동에너지와 포텐셜에너지의 차를 최소로 하는 물체의 운동이라는 해석이 가능하다. 처음 운동지점과 마지막 운동지점간의 운동상태는 운동에너지와 포텐셜에너지의 차를 최소로 하는 궤도가 되는 것이다. 

 사실 T - U에는 딱히 의미가 보이지 않는다. 그래서 라그랑지안을 이해하는데 큰 어려움이 느껴지는데, L = T - U 를 만들 당시에는 뉴턴방정식에 때려맞추기 위해서만들어졌다고 한다. 그리고 나서, 현대에 이르러서는 상대성이론과 양자역학을 통해 L이 지니는 의미가 해석되어진다고 한다.

 그도 그럴 것이, 최적의 공간을 어떻게 찾을 것인가의 문제이기 때문에 시공간을 다루는 상대성이론과, 양자 이동경로를 설명하는 양자역학에서 해석이 되어질 수 있는 것이다.

 자세히는 모르기 때문에 관련 url을 첨부한다.

 https://www.physicsforums.com/threads/derive-that-the-lagrangian-in-classical-phyics-is-l-t-v.443711/

 https://www.physicsforums.com/threads/why-does-the-lagrangian-have-negative-potential-energy.704870/

 http://dreistein.hatenablog.com/entry/2015/01/15/080000

 그리고, L에 원하는 다른 Cost 함수를 넣어서 다양한 분석이 가능하다. 예를 들면, 중력에 의해 해당위치 까지 이동하는 시간을 최소화 하는 Cost 함수를 이용하면, 중력장에서 가장 빠른 시간내로 해당지점까지 이동할 수 있는 최단강하선(사이클로이드)궤도를 얻을 수 있다.

해밀턴 운동방정식

 해밀턴 운동방정식은 라그랑주 운동방정식에서 라그랑지안 L 의 전미분을 통해 얻어지며, 운동량 p와 위치 q에 대한 스칼라양을 이용한다. 

 H = T(운동에너지) + U(포텐셜에너지)

 위의 식으로 나타나며, 에너지 소모가 없는 계에서 H는 일정하므로 이런 운동이 나타나는 공간을 위상공간이라 칭한다. 이 위상공간은 일반화 운동량 p와 일반화 위치 q로 표현된다.

 위상공간에서 초곡면 H는 에너지보존법칙에 해당하는 곡면이고, 해밀턴 운동방정식의 해를 통해 얻어지는, p와 q의 관계가 초곡면과 만나 궤도(선)를 이루게 된다.

 이 선이 바로 해밀턴 운동방정식을 통해 구해지는 계의 운동상태를 나타내며, 궤도 상의 한 점은 그 시간의 운동상태에 해당한다.

해석역학이 필요한 이유

 이러한 해석 역학은 입자 한개한개의 힘과 작용점에 대해 생각할 필요가 없다. 그저, 운동에너지, 포텐셜에너지를 통해 계 내의 입자가 가질 수 있는 운동상태(위치, 운동량)에 대한 스칼라 양을 계산하면 되는 것이다.

 궤도로봇의 운동방정식을 도출했던 적이 있었는데, 그때 해밀턴 운동방정식을 통해 힘과, 휠이 받는 영향에 대해 분석했던 적이 있다. 하나하나의 작용점을 모두 계산하기는 너무나 복잡했을 것이다.

 뉴턴 역학은 인과론적, 해석역학은 목적론적이라고 불리운다. 미니까 움직이더라가 뉴턴 역학이라면, 최소작용의 원리라는 목적을 지닌 상태를 해석하는 것이 해석역학이다. 

 통계역학은 입자가 너~~~~~무 많다. 그래서 하나하나의 작용점을 생각해야 하는 뉴턴 역학보다는, 각 입자의 운동상태에 대해 해석하는 해석역학이 훨씬 유리하다.