[고찰] 행렬의 가역성 고찰

 행렬을 통해 여러 변수들이 상호작용을 통해 변화해 나가는 과정을 기술할 수 있다.

 

 예를 들어, x1과 x2가 상호작용 하지 않는 경우에는 다음과 같이 변화가 없음을 기술할 수 있다.

 여기서 t는 상호작용한 step 수를 나타낸다.

 또, x1과 x2이 서로 값을 교환하는 관계라면 다음과 같이 기술할 수 있다.

 이렇게 행렬을 통해 변수들의 크기에 영향을 받는 상호 작용을 기술할 수 있다. 이러한 기술을 이용하면 step이 증가 하면 증가할 수록 변수들이 어떻게 변해가는지를 생각해볼 수 있다. 

 이렇게 본다면, 행렬의 가역성이란 현재 상태와 상호관계를 통해 이전 상태를 예측할 수 있는가 하는 이야기가 된다. 

 위와 같이 가역행렬은 상호관계를 표현하는 행렬의 역행렬로 표시할 수 있다. 현재의 상태와 둘의 관계를 알면, 이전에 어떠한 상태였는지 알 수 있게 되는 것이다. 이러한 가역행렬은 행렬식이 0이 아닐 때 존재할 수 있다. 2차 정방행렬은 행렬 요소를 [[a, b], [c, d]] 로 표현할 때 ad - bc 로 구해진다.

 그럼, ad - bc 를 0으로 만드는 비가역 행렬들을 살펴보자.

  

  

  

  

  공통적으로 결과값이 특정한 관계, 특정한 수로 표현되는 것을 알 수 있다. 즉, 변수들의 상태는 늘 같거나 같은 비율을 갖게 된다. 그리고, x1과 x2에 수많은 가능한 변수들이 존재하게 된다. 예를 들어, 예로 제시한 첫 번째 비가역 행렬의 t+1때의 x1, x2의 값이  [[0], [0]] 인 경우, "x1 + x2 = 0" 을 만족하는 모든 변수들이 이전의 상태가 될 수 있게 되는 것이다.

 이것은 x1과 x2의 두 변수가 하나의 관계에 속해 버림을 나타낸다. x1과 x2의 변수를 각기 축으로 설정하여 평면을 그려본다면, 초기 x1과 x2의 상태는 평면 위의 한 점에 해당된다. 그런데, 위와 같은 비가역 행렬을 거치게 되면, 하나의 점 또는 하나의 선으로 x1과 x2의 상태가 수축이 되어버린다.

 x1과 x2가 같은 비율을 가지는 것은 변수의 상태가 선으로 수축됨을 나타내며, 0으로 변해버리는 것은 점으로 수축됨을 나타낸다. 2차원평면이 1차원의 선과 0차원의 점으로 수축되면, 본디 2차원의 상태가 어떤 상태였는지 알 수 없게 된다. 공간을 나타내는 정보가 증발해 버리는 것이다.

 이를 통해 x1과 x2가 강한 상관을 보이는 경우에 대해 생각해볼 수 있다. 강한 상관을 보인다는 것은 행렬식이 작은 값을 가진다는 것을 의미하고, 행렬식이 작다는 것은 두 변수가 가질 수 있는 상태가 수축되어지고 있다는 것을 의미한다. 상태가 수축됨으로써, x1과 x2의 상관관계가 주어지게 되는 것이다.

결론

 

 즉, 가역적인 것은 약한 상관을 지닌 작용, 비가역적인 것은 강한 상관을 지닌 작용으로 생각해볼 수 있다. 

 

 그리고, 상호관계를 통해 강한 상관관계를 지니는 변수들에게는 개인의 값보다는 행렬의 곱을 통한 변환이 더 큰 의미를 지닌다는 것을 의미한다. "개인이 어떠한 값을 가지고 있었는가" 보다, "어떠한 반응이 있는가" 가 앞으로의 변화에 있어 더 큰 의미를 가진다는 것이다.

 개체간의 상호작용을 행렬로 표시하는 네트워크 이론에서 매우 흥미롭게 볼 수 있는 관점이 될 수 있을 것 같다.